Rararaadseltje's

[David J]

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo
Niet de knikkers vormen tatraeders met zijde 1, maar de middelpunten van die knikkers.

Ge hebt geheel gelijk, o grote wijsneus. :stu

En ja, het klopt dat je 56 knikkers kwijt kunt op de tweede laag. In de L-richting heb je immers 8 rijtjes, en in de B-richting 9. Dus 7 en 8 'tussenposities'. Teken het anders maar.

Niet schelden wijsneus,

op jouw bodemlaag liggen rijtjes van 8 en 7 om en om. Volgens mij heb je dan geen 'kuiltjes' waarin 8x7 knikkers passen. Ze komen dan immers steeds klem te zitten tegen de rijtjes van 8 op de onderste laag. Wiskundig gezegd: ze kunnen helemaal geen tetraeders vormen met de onderlaag.

Je vroeg erom, niet dan?

Ik begrijp je probleem niet. Op de onderste laag vormen de middelpunten van de knikkers een driehoekig patroon. Boven de middelpunten van die driehoeken komen de middelpunten van de knikkers in de laag erboven. Dan krijg je dus tetraeders.

Overigens bedenk ik nu dat als je met een vierkant rooster begint op de onderste laag, de afstand tussen de lagen ws. nog kleiner is. Ik heb nu geen tijd om na te rekenen of dat opweegt tegen het feit dat er minder knikkers in een laag zitten, maar hoogstwaarschijnlijk niet.

[refo]

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo
Niet de knikkers vormen tatraeders met zijde 1, maar de middelpunten van die knikkers.

Ge hebt geheel gelijk, o grote wijsneus. :stu

En ja, het klopt dat je 56 knikkers kwijt kunt op de tweede laag. In de L-richting heb je immers 8 rijtjes, en in de B-richting 9. Dus 7 en 8 'tussenposities'. Teken het anders maar.

Niet schelden wijsneus,

op jouw bodemlaag liggen rijtjes van 8 en 7 om en om. Volgens mij heb je dan geen 'kuiltjes' waarin 8x7 knikkers passen. Ze komen dan immers steeds klem te zitten tegen de rijtjes van 8 op de onderste laag. Wiskundig gezegd: ze kunnen helemaal geen tetraeders vormen met de onderlaag.

Je vroeg erom, niet dan?

Ik begrijp je probleem niet. Op de onderste laag vormen de middelpunten van de knikkers een driehoekig patroon. Boven de middelpunten van die driehoeken komen de middelpunten van de knikkers in de laag erboven. Dan krijg je dus tetraeders.

Overigens bedenk ik nu dat als je met een vierkant rooster begint op de onderste laag, de afstand tussen de lagen ws. nog kleiner is. Ik heb nu geen tijd om na te rekenen of dat opweegt tegen het feit dat er minder knikkers in een laag zitten, maar hoogstwaarschijnlijk niet.

Je onderste laag is zo gevormd:
oooooooo 8
.ooooooo 7
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo

Hoe wil je de tweede laag daar nu opleggen?

[David J]

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J Ge hebt geheel gelijk, o grote wijsneus. :stu

En ja, het klopt dat je 56 knikkers kwijt kunt op de tweede laag. In de L-richting heb je immers 8 rijtjes, en in de B-richting 9. Dus 7 en 8 'tussenposities'. Teken het anders maar.

Niet schelden wijsneus,

op jouw bodemlaag liggen rijtjes van 8 en 7 om en om. Volgens mij heb je dan geen 'kuiltjes' waarin 8x7 knikkers passen. Ze komen dan immers steeds klem te zitten tegen de rijtjes van 8 op de onderste laag. Wiskundig gezegd: ze kunnen helemaal geen tetraeders vormen met de onderlaag.

Je vroeg erom, niet dan?

Ik begrijp je probleem niet. Op de onderste laag vormen de middelpunten van de knikkers een driehoekig patroon. Boven de middelpunten van die driehoeken komen de middelpunten van de knikkers in de laag erboven. Dan krijg je dus tetraeders.

Overigens bedenk ik nu dat als je met een vierkant rooster begint op de onderste laag, de afstand tussen de lagen ws. nog kleiner is. Ik heb nu geen tijd om na te rekenen of dat opweegt tegen het feit dat er minder knikkers in een laag zitten, maar hoogstwaarschijnlijk niet.

Je onderste laag is zo gevormd:
oooooooo 8
.ooooooo 7
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo

Hoe wil je de tweede laag daar nu opleggen?

Je bent een rijtje van 8 vergeten, onderaan. Dus zoals ik al eerder schreef
heb je 7 posities horizontaal en 8 verticaal waar je een knikker kunt neerleggen.
Verder is het tekeningetje misschien misleidend. Probeer het gewoon uit met knikkers, of (sinaas)appels, o.i.d.

[RacecaR]

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J Ge hebt geheel gelijk, o grote wijsneus. :stu

En ja, het klopt dat je 56 knikkers kwijt kunt op de tweede laag. In de L-richting heb je immers 8 rijtjes, en in de B-richting 9. Dus 7 en 8 'tussenposities'. Teken het anders maar.

Niet schelden wijsneus,

op jouw bodemlaag liggen rijtjes van 8 en 7 om en om. Volgens mij heb je dan geen 'kuiltjes' waarin 8x7 knikkers passen. Ze komen dan immers steeds klem te zitten tegen de rijtjes van 8 op de onderste laag. Wiskundig gezegd: ze kunnen helemaal geen tetraeders vormen met de onderlaag.

Je vroeg erom, niet dan?

Ik begrijp je probleem niet. Op de onderste laag vormen de middelpunten van de knikkers een driehoekig patroon. Boven de middelpunten van die driehoeken komen de middelpunten van de knikkers in de laag erboven. Dan krijg je dus tetraeders.

Overigens bedenk ik nu dat als je met een vierkant rooster begint op de onderste laag, de afstand tussen de lagen ws. nog kleiner is. Ik heb nu geen tijd om na te rekenen of dat opweegt tegen het feit dat er minder knikkers in een laag zitten, maar hoogstwaarschijnlijk niet.

Je onderste laag is zo gevormd:
oooooooo 8
.ooooooo 7
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo

Hoe wil je de tweede laag daar nu opleggen?

De berekeningen van David J zijn correct, maar refo heeft het bij het juiste eind wat betreft de stapeling van de lagen (teken het maar, dan zie je het vanzelf; de tweede laag moet ook noodzakelijk een driehoekig patroon hebben):
- 1e laag: 8 - 7 - 8 - 7 .......
- 2e laag: - 8 - 7 - 8 - .......
In totaal 12 lagen.

In de 2e laag gaan dus geen 7 x 8 knikkers, maar (4 x 7) + (4 x 8) = 60. Er kunnen dus nog meer dan 744 knikkers in, nl: 768!! Dit is precies 20% meer dan wanneer een vierkant patroon werd gebruikt.
Alleen nauwkeurig werken levert de goede oplossing. Overigens is een leuke vraag wat theoretisch het grootst aantal knikkers per volume is, dus hoeveel knikkers gaan erin als je ook de grensvlakken met stukjes opvult. Het antwoord hierop is: (L x B x H) / (afstand in L richting x .......) = (8 x 8 x 10) / (1 x half wortel 3 x 1/3 wortel 6) = 640 x wortel 2 = ongeveer 905 (41% meer)

[RacecaR]

Oorspronkelijk gepost door refo
In eerste instantie heeft ieder doosje 1/3 kans op het balletje. Je kiest er één en weet nog niets. De andere twee hebben samen 2/3 kans op een balletje. Dat blijft zo als één doosje open is. Dat ene nog niet gekozen ongeopende doosje heeft 2/3 kans op een balletje.

Ik ben het fundamenteel oneens met het vetgedrukte gedeelte. In deze visie zou de kans op een balletje in het geopende lege doosje dus nog steeds 1/3 zijn, maar je weet al dat die kans 0 is. Ja toch? Degene moet kiezen weet dat toch? De situatie is niet verschillend van de startsituatie waarbij gewoon uit 2 doosjes gekozen moet worden. Ik blijf het oneens met de oplossing!!

[refo]

De uitleg klinkt mysterieus. Een andere manier om het te bekijken:
De persoon die moet raden, zal in de eerste fase in een van de drie gevallen het juiste doosje hebben aangeduid.

In twee van de drie gevallen zal hij een verkeerde keuze hebben gemaakt. Hier is het van belang te begrijpen dat het openen van het lege doosje geen enkele informatie verstrekt die de kans verandert dat in de eerste fase het gelddoosje is aangewezen.

Als je geen doosjes zou openen en je zou hem toestaan de inhoud van die beide andere doosjes samen te nemen, zou dat op hetzelfde neerkomen. Daarom zal de strategie 'keuze veranderen' in twee van de drie gevallen succes hebben.

De ongelovigen:speel het spel herhaalde keren in werkelijkheid. Binnen tien tot twintig keer spelen tekent zich het dramatische verschil in winstkans tussen de strategieën 'vasthouden' of 'wisselen' af.

[refo]

Begrijp je wel dat de spelleider WEET dat hij een leeg doosje opent?

De doosjes heten V L1 L2

Dit zijn de mogelijkheden.

1) De speler kiest V, wisselen levert verlies.
2) De speler kiest L1, wisselen levert winst
3) De speler kiest L2, wisselen levert winst

[David J]

Oorspronkelijk gepost door RacecaR

Oorspronkelijk gepost door refo
In eerste instantie heeft ieder doosje 1/3 kans op het balletje. Je kiest er één en weet nog niets. De andere twee hebben samen 2/3 kans op een balletje. Dat blijft zo als één doosje open is. Dat ene nog niet gekozen ongeopende doosje heeft 2/3 kans op een balletje.

Ik ben het fundamenteel oneens met het vetgedrukte gedeelte. In deze visie zou de kans op een balletje in het geopende lege doosje dus nog steeds 1/3 zijn, maar je weet al dat die kans 0 is. Ja toch? Degene moet kiezen weet dat toch? De situatie is niet verschillend van de startsituatie waarbij gewoon uit 2 doosjes gekozen moet worden. Ik blijf het oneens met de oplossing!!

Toch heeft Refo gelijk. Het is belangrijk te bedenken dat je, nadat je een keuze gedaan hebt, twee compleet gescheiden sets van doosjes hebt: het doosje dat jij gekozen hebt, en de andere doosjes. De presentator zal namelijk nooit het doosje openen dat jij gekozen hebt. Wat er ook gebeurt, de kans dat het balletje in dat doosje zit blijft gelijk (1/3), en de kans dat het balletje in de andere set doosjes zit ook (2/3). Het enige wat de presentator beinvloedt zijn de onderlinge kansen in de tweede set.

Dus als blijkt dat een van die laatste doosjes leeg is, moet het wel zo zijn dat de kans dat hij in het andere doosje zit 2/3 is.

[RacecaR]

Oorspronkelijk gepost door refo
De uitleg klinkt mysterieus. Een andere manier om het te bekijken:
De persoon die moet raden, zal in de eerste fase in een van de drie gevallen het juiste doosje hebben aangeduid.

In twee van de drie gevallen zal hij een verkeerde keuze hebben gemaakt. Hier is het van belang te begrijpen dat het openen van het lege doosje geen enkele informatie verstrekt die de kans verandert dat in de eerste fase het gelddoosje is aangewezen.

Als je geen doosjes zou openen en je zou hem toestaan de inhoud van die beide andere doosjes samen te nemen, zou dat op hetzelfde neerkomen. Daarom zal de strategie 'keuze veranderen' in twee van de drie gevallen succes hebben.

OK, ik geloof dat ik de redenering begrijp (ik begrijp de redenering). Als je 'bij je keuze blijven' interpreteert als niet opnieuw kiezen, is de kans 1/3. Als je voor de optie 'opnieuw kiezen' gaat is de kans 1/2. Maarrrr na de eerste kiesronde wordt je hoe dan ook altijd de kans gegeven om van keuze te veranderen, dus in feite om opnieuw te kiezen. 'Bij je keuze blijven' is in de gegeven omstandigheden ook 'opnieuw kiezen'.
Ik blijf onbegrijpend (ongelovig).

De ongelovigen:speel het spel herhaalde keren in werkelijkheid. Binnen tien tot twintig keer spelen tekent zich het dramatische verschil in winstkans tussen de strategieën 'vasthouden' of 'wisselen' af.

Deze redenering gaat mank, want stel dat je het spel 20 keer speelt en je beslist op voorhand om de eerste 10 keer niet opnieuw te kiezen en de laatste 10 keer wel (de laatste 10 keer zul je dan gemiddeld 5 keer 'van keuze veranderen' ), dan zul je de eerste 10 keer gemiddeld 3.33 keer het balletje hebben en de laatste 10 keer gemiddeld 5 keer. Maarrr, je hebt voor de eerste 10 keer op voorhand al beslist om niet opnieuw te kiezen, terwijl in het gegeven probleem je die keuze niet op voorhand maakt (zo heb je het in ieder geval voorgesteld).
Graag uw commentaar, want volgens mij heb ik wel gelijk.

[David J]

Oorspronkelijk gepost door RacecaR

Oorspronkelijk gepost door refo

Oorspronkelijk gepost door David J

Oorspronkelijk gepost door refo Niet schelden wijsneus,

op jouw bodemlaag liggen rijtjes van 8 en 7 om en om. Volgens mij heb je dan geen 'kuiltjes' waarin 8x7 knikkers passen. Ze komen dan immers steeds klem te zitten tegen de rijtjes van 8 op de onderste laag. Wiskundig gezegd: ze kunnen helemaal geen tetraeders vormen met de onderlaag.

Je vroeg erom, niet dan?

Ik begrijp je probleem niet. Op de onderste laag vormen de middelpunten van de knikkers een driehoekig patroon. Boven de middelpunten van die driehoeken komen de middelpunten van de knikkers in de laag erboven. Dan krijg je dus tetraeders.

Overigens bedenk ik nu dat als je met een vierkant rooster begint op de onderste laag, de afstand tussen de lagen ws. nog kleiner is. Ik heb nu geen tijd om na te rekenen of dat opweegt tegen het feit dat er minder knikkers in een laag zitten, maar hoogstwaarschijnlijk niet.

Je onderste laag is zo gevormd:
oooooooo 8
.ooooooo 7
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo
oooooooo
.ooooooo

Hoe wil je de tweede laag daar nu opleggen?

De berekeningen van David J zijn correct, maar refo heeft het bij het juiste eind wat betreft de stapeling van de lagen (teken het maar, dan zie je het vanzelf; de tweede laag moet ook noodzakelijk een driehoekig patroon hebben):
- 1e laag: 8 - 7 - 8 - 7 .......
- 2e laag: - 8 - 7 - 8 - .......
In totaal 12 lagen.

In de 2e laag gaan dus geen 7 x 8 knikkers, maar (4 x 7) + (4 x 8) = 60. Er kunnen dus nog meer dan 744 knikkers in, nl: 768!!

Je hebt uiteraard gelijk dat de tweede laag ook een driehoekig patroon moet kennen. Mijn antwoord was dus fout. Ik dacht in de eerste instantie dat er nooit rijtjes van 8 in de L-richting op de tweede laag zouden passen, maar dat is niet waar. Jij hebt dus gelijk.

[David J]

Oorspronkelijk gepost door RacecaR

OK, ik geloof dat ik de redenering begrijp (ik begrijp de redenering). Als je 'bij je keuze blijven' interpreteert als niet opnieuw kiezen, is de kans 1/3. Als je voor de optie 'opnieuw kiezen' gaat is de kans 1/2.

Dat kan niet, 1/3 + 1/2 is geen 1. De totale kans moet uiteraard 1 zijn, want het balletje zit of in het ene, of in het andere doosje. Hier blijkt je denkfout.

De ongelovigen:speel het spel herhaalde keren in werkelijkheid. Binnen tien tot twintig keer spelen tekent zich het dramatische verschil in winstkans tussen de strategieën 'vasthouden' of 'wisselen' af.

Deze redenering gaat mank, want stel dat je het spel 20 keer speelt en je beslist op voorhand om de eerste 10 keer niet opnieuw te kiezen en de laatste 10 keer wel (de laatste 10 keer zul je dan gemiddeld 5 keer 'van keuze veranderen' ), dan zul je de eerste 10 keer gemiddeld 3.33 keer het balletje hebben en de laatste 10 keer gemiddeld 5 keer. Maarrr, je hebt voor de eerste 10 keer op voorhand al beslist om niet opnieuw te kiezen, terwijl in het gegeven probleem je die keuze niet op voorhand maakt (zo heb je het in ieder geval voorgesteld).
Graag uw commentaar, want volgens mij heb ik wel gelijk.

Je hebt geen gelijk. Zoals je zelf al aangeeft is 'geen nieuwe keuze maken' ook een keuze. De eerste 10 keer blijf je bij je keuze en heb je gemiddeld 3,33... keer het balletje, de tweede 10 keer verander je en krijgt je het 6,66... keer. Of je die keuze al dan niet op voorhand maakt doet absoluut niet terzake; het verandert niets. Waarom denk je dat dat wel iets uitmaakt?

[Aangepast op 10/3/05 door David J]

[refo]

Oorspronkelijk gepost door RacecaR
Deze redenering gaat mank, want stel dat je het spel 20 keer speelt en je beslist op voorhand om de eerste 10 keer niet opnieuw te kiezen en de laatste 10 keer wel (de laatste 10 keer zul je dan gemiddeld 5 keer 'van keuze veranderen' ), dan zul je de eerste 10 keer gemiddeld 3.33 keer het balletje hebben en de laatste 10 keer gemiddeld 5 keer. Maarrr, je hebt voor de eerste 10 keer op voorhand al beslist om niet opnieuw te kiezen, terwijl in het gegeven probleem je die keuze niet op voorhand maakt (zo heb je het in ieder geval voorgesteld).
Graag uw commentaar, want volgens mij heb ik wel gelijk.

Je moet twee series doen. Niet alles doorelkaar. Als je 18 keer niet wisselt, zul je ongeveer 6 keer raak raden.
Als je vervolgens 18 keer wel wisselt, zul je 12 keer raak raden.

Volgens dit principe:

De doosjes heten V L1 L2

Dit zijn de mogelijkheden.

1) De speler kiest V, wisselen levert verlies.
2) De speler kiest L1, wisselen levert winst
3) De speler kiest L2, wisselen levert winst

[RacecaR]

De doosjes heten V L1 L2

Dit zijn de mogelijkheden.

1) De speler kiest V, wisselen levert verlies.
2) De speler kiest L1, wisselen levert winst
3) De speler kiest L2, wisselen levert winst

Eens. Ik geloof dat er een beetje sprake is van spraakverwarring. Cruciaal is wat je onder 'opnieuw kiezen' verstaat. 'Opnieuw kiezen' is niet hetzelfde als 'wisselen'.
Natuurlijk moet je opnieuw kiezen, want dit vergroot je kans, nl van 1/3 naar 3/6. Daar ben je het toch mee eens?

Zoals oorspronkelijk gesteld:

blijf je bij je eerste keuze, of kies je voor het overgebleven andere doosje?

is er mijns inziens in beide gevallen sprake van 'opnieuw kiezen'.

[Aangepast op 10/3/05 door RacecaR]

[refo]

Oorspronkelijk gepost door RacecaR

De doosjes heten V L1 L2

Dit zijn de mogelijkheden.

1) De speler kiest V, wisselen levert verlies.
2) De speler kiest L1, wisselen levert winst
3) De speler kiest L2, wisselen levert winst

Eens. Ik geloof dat er een beetje sprake is van spraakverwarring. Cruciaal is wat je onder 'opnieuw kiezen' verstaat. 'Opnieuw kiezen' is niet hetzelfde als 'wisselen'.
Natuurlijk moet je opnieuw kiezen, want dit vergroot je kans, nl van 1/3 naar 3/6. Daar ben je het toch mee eens?

Zoals oorspronkelijk gesteld:

blijf je bij je eerste keuze, of kies je voor het overgebleven andere doosje?

is er mijns inziens in beide gevallen sprake van 'opnieuw kiezen'.

[Aangepast op 10/3/05 door RacecaR]

neehee!!!

Het vergroot de kans van 1/3 naar 2/3. Kijk dan naar de drie mogelijkheden. Ik heb ze even vet voor je afgedrukt.

[refo]

In twee van de drie gevallen bevat het nog onaangeroerde doosje (niet gekozen en niet geopend) het balletje. Omdat in 1 van de drie gevallen het balletje in het aanvankelijk gekozen doosje zit.

Door te wisselen stijgt de kans van 1/3 naar 2/3